מה זה מחשבון לוגריתם?
מחשבון לוגריתם מחשב לוגריתמים בבסיסים שונים. הלוגריתם הוא הפעולה ההפוכה לחזקה: logₐ(x) = n פירושו aⁿ = x. כלומר, הלוגריתם שואל "לאיזו חזקה להעלות את הבסיס?".
סוגי לוגריתמים נפוצים: log₁₀ (לוגריתם עשרוני), ln (לוגריתם טבעי, בסיס e≈2.718), log₂ (לוגריתם בינארי). הלוגריתם מוגדר רק למספרים חיוביים.
הלוגריתם הומצא על ידי ג'ון נייפיר ב-1614 כדי לפשט חישובים. לפני המחשבונים, טבלאות לוגריתמים היו כלי עבודה חיוני למתמטיקאים ומהנדסים.
איך מחשבים לוגריתם?
logₐ(x) שואל: "לאיזו חזקה צריך להעלות את a כדי לקבל x?" התשובה היא הערך שמקיים aⁿ = x. חוקי הלוגריתם מפשטים חישובים.
נוסחה: logₐ(x) = n ⟺ aⁿ = x | log(ab) = log(a) + log(b) | log(a/b) = log(a) - log(b) | log(aⁿ) = n·log(a)
דוגמה: דוגמה 1: log₂(8) = 3 כי 2³ = 8. דוגמה 2: log₁₀(100) = 2 כי 10² = 100. דוגמה 3: ln(e²) = 2. דוגמה 4: log₂(1024) = 10 כי 2¹⁰ = 1024. דוגמה 5: log(1) = 0 בכל בסיס.
מקור: אלגברה — לוגריתמים
מתי משתמשים בלוגריתמים?
- סקאלת pH: pH = -log[H⁺]. מים עם pH=7 הם נייטרליים, pH=3 זה חומצי (פי 10,000 יותר מים)
- דציבלים: dB = 10·log(P₂/P₁). הבדל של 10dB = פי 10 בעוצמה
- ריכטר: עלייה של 1 בסקאלה = פי 10 באנרגיה. רעידה 7 חזקה פי 1,000 מרעידה 4
- מימון — הכפלת הון: בריבית r%, הזמן להכפלה ≈ ln(2)/r ≈ 70/r שנים (כלל 70)
- מדעי המחשב: חיפוש בינארי — O(log n). ב-1,000,000 איברים צריך רק ~20 צעדים
- גידול אוכלוסיות: זמן הכפלה = ln(2)/r, כאשר r קצב הגידול
- אנטרופיה: מדד אי-סדר S = k·ln(W) בפיזיקה סטטיסטית
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין log ל-ln?
log (או log₁₀) הוא לוגריתם בבסיס 10. ln (לוגריתם טבעי) הוא בבסיס e≈2.718. בחדו"א ומדעים משתמשים בעיקר ב-ln, במהנדסים וכימאים ב-log.
למה log של מספר שלילי לא מוגדר?
אין חזקה ממשית שנותנת מספר שלילי (למספר חיובי בכל חזקה התוצאה חיובית). לכן logₐ(x) מוגדר רק עבור x>0.
מה זה antilog?
antilog הוא הפעולה ההפוכה ללוגריתם. antilog(x) = 10ˣ עבור log עשרוני, ו-eˣ עבור ln.
איך ממירים בין בסיסי לוגריתם?
logₐ(x) = logᵦ(x) / logᵦ(a). במחשבון: log₂(8) = ln(8)/ln(2) = log(8)/log(2) = 3.
מה זה log(1) ולמה?
log(1) = 0 בכל בסיס, כי a⁰ = 1 לכל a. למשל: log₁₀(1) = 0, ln(1) = 0, log₂(1) = 0.
אלגברה — לוגריתמים