מה זה מחשבון דטרמיננטה?
מחשבון דטרמיננטה מחשב את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית. הדטרמיננטה היא מספר יחיד שמאפיין את המטריצה ונותן מידע על ההפיכות שלה.
דטרמיננטה שונה מאפס אומרת שהמטריצה הפיכה. דטרמיננטה אפס אומרת שהעמודות תלויות לינארית — אחת היא צירוף של האחרות.
גאומטרית, הדטרמיננטה מודדת את פקטור השינוי בשטח/נפח. det = 2 אומר ששטחים מוכפלים פי 2. det < 0 אומר "שיקוף" — שינוי כיוון.
איך מחשבים דטרמיננטה?
למטריצה 2×2: det = ad - bc (אלכסון ראשי פחות אלכסון משני). למטריצה 3×3: כלל סארוס או פיתוח לפי שורה.
נוסחה: det[a,b;c,d] = ad - bc | det 3×3: פיתוח לפי שורה ראשונה עם סימני ±
דוגמה: דוגמה 1: det[3,1;2,4] = 3×4-1×2 = 10. דוגמה 2: det[1,0;0,1] = 1 (מטריצת יחידה). דוגמה 3: det[1,2;2,4] = 0 (שורה שנייה = פי 2 מהראשונה). דוגמה 4: det[0,1;1,0] = -1 (מטריצת שיקוף).
מקור: אלגברה לינארית — דטרמיננטות
מתי משתמשים בדטרמיננטה?
- בדיקת הפיכות: det ≠ 0 ⟺ המטריצה הפיכה ⟺ יש פתרון יחיד למערכת
- שיטת קרמר: x = det(Aₓ)/det(A) — פתרון מערכות משוואות
- שטח מקבילית: וקטורים u,v יוצרים מקבילית עם שטח |det[u;v]|
- נפח מקבילון: 3 וקטורים → נפח = |det| של מטריצה 3×3
- ערכים עצמיים: λ הוא ע"ע אם det(A-λI) = 0
- יעקוביאן: החלפת משתנים באינטגרל — dxdy = |J|·dudv
שאלות נפוצות
מה אומרת דטרמיננטה שלילית?
דטרמיננטה שלילית אומרת שהטרנספורמציה משנה את כיוון המרחב (מעין "שיקוף"). הערך המוחלט עדיין מייצג את פקטור השטח/נפח.
האם det(AB) = det(A) × det(B)?
כן! זו תכונה חשובה. גם det(Aⁿ) = (det A)ⁿ. זה מאפשר לחשב דטרמיננטות של חזקות מטריצות בקלות.
מה הקשר בין דטרמיננטה לערכים עצמיים?
הדטרמיננטה שווה למכפלת הערכים העצמיים. אם אחד מהם אפס, הדטרמיננטה אפס והמטריצה סינגולרית.
מה זה כלל סארוס?
שיטה לחישוב דטרמיננטה 3×3: מעתיקים 2 עמודות ראשונות מימין, מחברים מכפלות האלכסונים היורדים ומחסירים את העולים.
מה זה מטריצה סינגולרית?
מטריצה עם דטרמיננטה אפס. אין לה הופכית, העמודות תלויות לינארית, ומערכת המשוואות המתאימה לה אין פתרון יחיד.
אלגברה לינארית — דטרמיננטות